Матеуш Ветеска родился 11 февраля 1997 в Варшаве, Польша. Начал карьеру в академии варшавской «Легии» и дебютировал за первую команду в 2014 в финале Суперкубка Польши против «Завиши» Быдгощ. В первые годы выступлений часто отправлялся в аренду в различные клубы, чтобы набираться опыта.

В 2017 перебрался в «Гурник» Забже, где провел свой первый полноценный сезон в качестве основного защитника, записав в актив 42 матча и 7 голов. Его исключительная игра привлекала внимание «Легии» Варшава, которая и усилила им свой состав в 2018.

В «Легии» Ветеска стал основным игроком обороны и провел там пять сезонов, насчитав 150 матчей, 8 голов и 4 результативных передачи. За период своих выступлений выиграл три чемпионата Польши и стал одним из лучших защитников в «Экстракласе».

Летом 2022 его заполучил французский «Клермон». В Лиге 1 Матеуш пробыл один год, сыграл 37 матчей, забил один гол, отдал два голевых паса и доказал свою способность выступать на высоком уровне.

В августе 2023 итальянский «Кальяри» заплатил за поляка 5.000.000 евро. В Серии А центральный защитник провел 28 поединков и дважды ассистировал.

На международной арене Ветеска выступал за все юниорские и юношеские сборные Польши. В 2022 дебютировал за главную национальную команду страны и на сегодняшний день насчитывает 4 матча.