Александар Прийович родился в Санкт-Галлене 21 апреля 1990 и свои первые шаги в футболе делал в академии местной команды. В возрасте 16 лет футболист принял решение покинуть страну и отправился в итальянскую «Парму», где вошел в состав второй команды.

Шесть дней после своего совершеннолетия Прийович дебютировал в Серии А в матче против «Реджины», однако летом 2008 уехал в Англию. Попробовался в «Дерби Каунти», трижды забил в товарищеской встрече со второй командой «Арсенала» и обеспечил себе пребывание на острове.

Бюрократическая ошибка при переходе из «Пармы» и военные обязанности не позволил ему сразу попасть в команду и в январе его арендовали на один месяц в «Йовил Таун», где он сыграл четыре матча, не забив ни одного гола. Далее футболиста снова отдали в аренду в «Норгемптон», в составе которого Прийович забил 2 гола в 10 поединках.

В начале 2010 игрок вернулся в Швейцарию, чтобы защищать цвета «Ньона». Там он провел полтора сезона, забил 7 голов в 46 матчах и затем был арендован в «Лозанну» в сезоне 2011-12.

Летом 2012 нападающий продолжил карьеру в норвежском «Тромсе» на правах аренды, где забил 10 голов в 37 поединках во всех турнирах. Норвежцы хотели оставить его в команде, но финансовые проблемы клуба не позволили им это сделать и Прийович снова сменил место жительства.

Следующим пунктом назначения стал шведский «Юргорден». Команда из Стокгольма приобрела игрока и там он встретил своего тренера по «Тромсе» Пер Матиаса Хогмо. Прийович пробыл в столице Швеции до конца сезона 2013-14, забив 11 голов в 32 матчах.

Его хорошая игра обеспечила ему переход в клуб второго дивизиона чемпионата Турции «Болуспор». Высокорослый форвард сразу приспособился к новым реалиям, отметившись 16 голами в 31 поединке. Выступления швейцарца привлекли к себе внимание многих команд, но именно варшавской «Легии» удалось его заполучить.

9 июля поляки объявили о переходе Александра Прийовича и начался новый виток в карьере. В своем первом сезоне в Варшаве он завоевал дубль, забив в ворота «Лех» Познань в финале Кубка. Всего в 47 встречах футболист забил 16 голов и отдал 9 голевых передач.

В первой половине нынешнего сезона он провел 25 поединков во всех турнирах, записав в актив 8 голов и 4 голевые передачи. Самым лучшим его матчем стал поединок с дортмундской «Боруссией» на «Сигнал Идуна Парк». Хотя его команда и потерпела крупное поражение 8-4, но сам он дважды поразил ворота соперника.

На уровне национальных сборных Прийович начал играть за юниорские команды Сербии, но в 19 лет надел футболку сборной Швейцарии и выступал за U-20 и U-21.