Родился 14 апреля 1989 в Узиче, Сербия. Любовь к футболу перенял у своего отца, страстного фаната «Партизана». Вырос в… черно-белом доме и с детских лет хотел заниматься этим видом спорта.

Первые шаги делал в местной команде «Слобода». В поле зрения «Партизана» попал в 2005 и мечты Живко начали превращаться в реальность после того, как он поступил в академию клуба.

В 2007 получил повышение в первую команду и подписал свой первый профессиональный контракт. Но путь к становлению не был выстлан красной дорожкой.

Футболист сначала был арендован в «Телеоптик». Затем вернулся, чтобы снова снова отправиться в аренду, на этот раз в «Металац» Горни-Милановац, вместе с которым праздновал выход в высший дивизион в сезоне 2008-09. На следующий год команда сохранила место в лиге и Живкович был ее основным игроком.

Вернувшись в Белград, он занял место третьего голкипера и после бездеятельного сезона руководство снова приняло решение арендовать его в «Металац».

В начале игрового периода 2012-13 он оказался в «Телеоптике», однако травма Стойновича вернула его в «Партизан» и аренда Живковича закончилась.

Сербский вратарь упорно боролся за место в стартовом составе. Несмотря на трудности, он не сдавался и весной 2015 его терпение было вознаграждено. Живко получил место в основе, показывал великолепную игру и сохранял свою позицию примерно один год, пока не стал жертвой смены тренерского штаба.

По завершении сезона 2015-16 его контракт с «Партизаном» истек и он принял решение искать счастья в другом месте. Предложение «Ксанти» казалось идеальным вариантом и вратарь перебрался в Грецию.

Живкович провел три насыщенных года в составе акритов, сыграл 89 матчей и зарекомендовал себя одним из лучших голкиперов страны.

В апреле 2019 он заявил в социальных сетях, что не продолжит карьеру в «Ксанти». ΠΑΟΚ не упустил такой возможности и приобрел его как свободного агента.