А.Живкович родился в г. Ниш, Сербия 11 июля 1996. Поступил в академию местного клуба «Национал» и своими достижениями смог впечатлить большие команды своей страны. В 2009 его приобрёл «Партизан», сначала в свою детско-юношескую спортивную школу.

Дебютировал в составе первой команды 28 апреля 2013 в матче против «Нови Пазар». В августе того же года подписал свой первый профессиональный контракт, а два дня спустя впервые забил гол.

Сразу нашел своё место в команде, стал игроком основы и даже надел капитанскую повязку, став самым молодым капитаном в истории команды.

Параллельно молодой футболист был одним из главных исполнителей в национальной сборной Сербии U-20, завоевавшей Чемпионат мира в 2015, а перед этим стал самым молодым игроком взрослой национальной сборной своей страны, когда Синиша Михайлович дал ему шанс в товарищеской встрече с Японией.

До 2016 провел за «Партизан» 93 поединка, забил 24 гола, сделал 13 результативных передач, выиграл два чемпионата и один Кубок Сербии.

В июле 2016 «Бенфика» не упустила возможность усилить им свою команду. В Португалии Андрия пробыл четыре года, сыграл в 88 матчах, записал в актив 4 гола и 24 голевые передачи, завоевав параллельно два чемпионата страны и один Кубок. За этот период футболист стал основным в национальной сборной Сербии и принял участие на Чемпионате мира 2018.

«Двуглавый» провёл быструю и методичную работу на трансферном рынке и смог сделать А.Живкович жителем Салоник.